روش المان محدود (FEM) روشی عددی برای یافتن پاسخ تقریبی مسئله شرایط مرزی برای معادلات مشتق جزیی است. به این روش، آنالیزهای المان محدود (FEA) هم گفته می شود. FEM یک مسئله پیچیده را به قسمت های کوچک تر و ساده تر که المان نامیده می شوند، تقسیم بندی می کند. این معادلات ساده که المان های محدود را مدل سازی می کنند، به سیستم بزرگتری سرهم شده تا تمام مسئله را مدل سازی کند. در FEM ها از روش های مختلف، از محاسبه تغییرات تا پاسخ تقریبی با حداقل رساندن خطاهای وابسته استفاده می شود.

• مزایای تقسیم بندی کل دامنه به قسمت های کوچکتر در المان محدود
  

1. نمایش دقیقی از هندسه پیچیده
2. در بر گرفتن خواص مواد غیر مشابه
3. نمایش آسان کل پاسخ
4. مهار اثرات محلی

یک روش المان محدود معمول شامل موارد زیر است:

1. تقسیم دامنه مسئله به مجموعه ای از زیر دامنه ها
2. ترکیب مجدد معادلات هر المان به معادلات سیستم کلی برای محاسبه نهایی

   گام اول، معادلات المان هستند که معادلات ساده ای بوده و تقریب محلی برای معادلات پیچیده اصلی (معادلات مشتق جزیی (PDE)) هستند. برای بیان بهتر تقریب این فرآیند، روش المان محدود را در مسئله خاص روش گلرکین (Glerkin method) بیان می کنیم. به زبان ریاضی، این فرآیند، ساختن انتگرالی از ضرب داخلی باقیمانده و توابع وزنی و صفر کردن این انتگرال است. به زبان ساده تر، مجموعه اقدامات برای به حداقل رساندن خطای تقریب با برازش کردن توابع آزمایش بر معادلات مشتق جزیی است. باقیمانده در خطای حاصل شده از توابع آزمایش و توابع وزنی، توابع چند جمله ای هستند که باقیمانده ها را تصویر می کنند. این فرآیند تمامی مشتقات فضایی را از PDE حذف و به صورت محلی PDE را به شرح ذیل تقریب می زند:

1. مجموعه ای از معادلات جبری برای مسائل حالت پایا
2. محموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی برای مسائل گذرا

   این مجموعه معادلات، معادلات المان هستند.

   در گام دوم، سیستم کلی معادلات از معادلات المان بواسطه تبدیل مختصات گره های (node) زیر دامنه به گره های دامنه اصلی تولید می شود.

   روش المان محدود در کاربردهای عملی که با نام آنالیزهای المان محدود (FEA) شناخته می شود بهتر درک می شود. FEA در مهندسی، ابزاری محاسباتی برای انجام آنالیزهای مهندسی است. در این آنالیز، از روش های تولید شبکه (mesh) برای تقسیم معادلات پیچیده به کوچکتر استفاده می شود. در آنالیزهای المان محدود، مسئله پیچیده معمولا یک سیستم فیزیکی مانند معادله اویل-برنولی، معادله حرارت یا معادله ناویر استوکس است.

• انواع روش های متفاوت المان محدود

1. AEM: روش المان اعمال شده نام دارد که ویژگی های FEM و روش المان گسسته (DEM) را ترکیب می کند.
2. روش المان محدود کلی شده (Generalized finite element method): روش المان محدود کلی شده (GFEM) از فضاهای محلی شامل توابع (نه لزوما چند جمله ای) که تقریب مناسبی هستند و منعکس کننده اطلاعات موجود هستند استفاده می شوند. سپس یک تقسیم یگانه برای اتصال این فضاها به یگدیگر برای شکل گیری زیر فضای تقریب استفاده می شود.
3. روش المان محدود مختلط (Mixed finite element method): روش المان محدود مختلط نوعی روش المان محدود است که در آن، متغیرهای مستقل اضافی به عنوان متغیرهای گره ای در حین گسسته سازی مسئله معادله مشتق جزیی بیان می شوند.
4. Hp-FEM: در این روش از ترکیب المان های با اندازه متغیر h و درجه چند جمله ای p برای رسیدن به همگرایی نمایی سریع استفاده می شود.
5. Hpk-FEM: از ترکیب المان های با اندازه متغیر h و درجه چند جمله ای p و مشتق کلی از مرتبه k-1 برای رسیدن به همگرایی نمایی سریع استفاده می شود.
6. XFEM: روش المان محدود بسط یافته روشی عددی بر پایهع روش GFEM است. در روش بسط یافته با استفاده از ناپیوستگی ها، نیاز به شبکه زدن سطوح منقطع را ارضا کرده و در نتیجه هیزینه های محاسباتی و خطاهای مرتبط با روش المان محدود را کاهش می دهد.
7. S-FEM: روش المان محدود هموار شده، نوعی شبیه سازی عددی برای پدیده های فیزیکی است.
8. روش المان محدود طیفی (Spectral element method)
9. روش بدون مش (Meshfree method)
10. روش گالرکین منقطع (Discontinuous Galerkin methods)
11. آنالیزهای حدی المان محدود (Finite element limit analysis)
12. روش شبکه کش یافته (Stretched grid method)